Bài toán có lời văn thường không khó ở phép biến đổi cuối cùng mà ở việc chọn đúng điều cần đưa vào phép tính. Một công thức chỉ có ích khi em giải thích được mỗi ký hiệu đang đại diện cho cái gì và điều kiện nào cho phép dùng công thức ấy. Đó là bước xây dựng mô hình: giữ lại những quan hệ cần thiết của tình huống dưới dạng toán học.
Từ câu chuyện đến các đại lượng có đơn vị
Khung toán học PISA 2022 của OECD nêu việc xác định biến, giả định và ràng buộc khi biểu diễn tình huống bằng toán học [1]. Với một bài luyện cụ thể, em có thể bắt đầu bằng câu hỏi: đại lượng nào thay đổi, đại lượng nào đã biết, và mối quan hệ nào nối chúng? Không cần tìm một công thức giống hệt bài từng học ngay từ đầu.
Tình huống minh họa tự xây dựng: một bể có sức chứa 30 lít, ban đầu chứa 12 lít. Đồng thời có dòng nước vào 3 lít/phút và dòng ra 1 lít/phút. Trong khoảng trước khi bể đầy, hai lưu lượng được giữ không đổi; không có thất thoát khác. Hỏi sau bao lâu lượng nước trong bể đạt 25 lít?
| Chi tiết của đề | Biểu diễn bằng toán | Ý nghĩa cần giữ |
|---|---|---|
| Thời gian từ lúc hai dòng cùng bắt đầu. | Gọi t là số phút đã trôi qua. | t không phải giờ; t≥0. |
| Ban đầu có 12 lít. | V(0)=12. | Không được coi bể ban đầu rỗng. |
| Mỗi phút vào 3 lít và ra 1 lít. | Mức tăng ròng là 3−1=2 lít/phút. | Tính cả hai chiều cùng hoạt động. |
| Lượng nước tăng đều trước khi đầy. | V(t)=12+2t. | V tính bằng lít, t tính bằng phút. |
| Sức chứa 30 lít. | 12+2t≤30, nên 0≤t≤9. | Không dùng mô hình này để kết luận bể chứa hơn 30 lít. |
Các số liệu và điều kiện đều giả định. V(t) là cách viết “lượng nước sau t phút”; bảng minh họa cách chuyển từng điều kiện thành một phần mô hình.
Giải phương trình rồi kiểm tra nghiệm
Muốn đạt 25 lít, đặt 12+2t=25. Lượng cần tăng là 13 lít, mỗi phút tăng 2 lít, nên t=13/2=6,5 phút. Vì 6,5 nằm trong khoảng 0 đến 9 phút, nghiệm phù hợp với giai đoạn mô hình đang áp dụng. Đổi lại lời văn: cần 6 phút 30 giây kể từ lúc hai dòng cùng hoạt động.
Thử thế ngược để kiểm tra: trong 6,5 phút, lượng vào là 19,5 lít và lượng ra là 6,5 lít; 12+19,5−6,5=25 lít. Phép kiểm này giúp thấy cả số ban đầu lẫn hai dòng đã được dùng. Nếu chỉ lấy 25/3, em vừa bỏ lượng sẵn có vừa bỏ dòng chảy ra.
Nghiệm đúng phép tính vẫn phải đúng tình huống
Nếu hỏi thời điểm có 32 lít, phương trình vẫn cho t=10 phút. Nhưng kết quả ấy vượt sức chứa 30 lít và ra ngoài khoảng đã xác định. Theo sức chứa đã cho, bể không có thời điểm chứa 32 lít. Muốn mô tả lượng nước sau phút 9 thì mới cần biết nước tràn, dòng vào dừng hay có cơ chế khác. Không thể kéo dài công thức như thể bể có thể chứa mọi thể tích.
Một mô hình đơn giản luôn đi cùng những điều kiện cho phép nó hoạt động. Nếu lưu lượng thay đổi sau năm phút, em phải chia giai đoạn hoặc có thêm thông tin; không chỉ thay một con số vào công thức cũ. Nếu đề đổi phút thành giây, cần đổi cả tốc độ tương ứng. Chú thích đơn vị ngay lúc đặt biến sẽ giúp nhận ra những chỗ này sớm hơn.
Khi luyện toán thực tế cho HSA hoặc V-ACT, hãy giữ lại một “bản dịch” như hai cột đầu của bảng, nhất là ở bài mình thường đặt sai phương trình. Sau khi tìm đáp án, đọc lại điều kiện để xem nghiệm có ý nghĩa không. Mục tiêu của bước lập mô hình là làm rõ quan hệ của tình huống; phép giải và câu trả lời cuối cùng cần trung thành với quan hệ ấy.
Nguồn tham khảo
[1] OECD (2023). PISA 2022 Assessment and Analytical Framework, chương 2, mục Formulating situations mathematically và Interpreting, applying and evaluating mathematical outcomes. DOI 10.1787/dfe0bf9c-en. Ví dụ bể nước trong bài tự xây dựng. Xem tài liệu